Analisi di stabilità pendio indefinito

Analisi di stabilità dei pendii indefiniti

Lo schema di pendio indefinito è applicabile al caso di frane di scorrimento allungate, in cui l’influenza delle porzioni di sommità e di piede è trascurabile. La stabilità delle coltri di terreno alluvionale o detritico, di piccolo spessore rispetto alla lunghezza della frana, poste su un terreno di fondazione più rigido è di norma trattata con riferimento allo schema di pendio indefinito.

Pendio indefinito di terreno incoerente asciutto

Consideriamo un pendio indefinito di terreno omogeneo incoerente, c’=0, e asciutto u=0, isoliamo un concio di terreno delimitato da due pareti verticali, da una base parallela alla superficie del pendio, ad una generica profondità z, e una appartenente alla superficie del pendio.
Per simmetria le tensioni sulle facce laterali del concio sono uguali e opposte, per cui le loro risultanti avranno la stessa retta d’azione, parallela al pendio e verso opposto, quindi si elidono, (non intervengono nelle equazioni di equilibrio del concio).

Sulla base agirà una tensione tangenziale e una normale.
Consideriamo le forze agenti sul concio e scriviamo l’equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale:

Nelle ipotesi:

c’ = 0;
ϕ= ϕ’;
u = 0;
σ_tot= σ’;
N=N’;

si avrà:

W = γ⋅z⋅1
N = W⋅cosβ
T = W⋅sinβ
si pone pari a 1 (grandezza unitaria)

L’equilibrio del concio è assicurato dalle forze W,N e T:

Possiamo scrivere che:

Mentre dal criterio di rottura di Mohr-Coulomb si ha che:

Il coefficiente di sicurezza è calcolato come il rapporto tra la resistenza al taglio disponibile, e lo sforzo mobilitato:

(questo nel caso di terreni non coesivi)

Per la stabilità deve risultare FS≥1 (dove FS=1 rappresenta la condizione limite, di incipiente rottura), questa equazione comporta che per la stabilità di un pendio la sua inclinazione β deve essere minore o uguale all’angolo di resistenza al taglio ϕ’.

STABILITA’ ≥ β ≤ φ’

Non può esistere quindi un pendio, costituito da un terreno incoerente c’=0, con un angolo di inclinazione β maggiore dell’angolo di resistenza al taglio.

Estendendo il caso ad un terreno coerente, quindi c’≠0 si ha:

Per cui l’espressione del coefficiente di sicurezza si scrive come:

Ricordando che nel caso di terreno asciutto si ha che:

N=N’ e ϕ= ϕ’

Pendio indefinito di terreno sommerso

Consideriamo ora l’equilibrio di un concio di terreno omogeneo, incoerente e totalmente immerso in acqua in quiete, in queste condizioni, oltre alle forze presenti nel caso di terreno asciutto, agirà sul concio la spinta dell’acqua, che è la risultante delle pressioni idrostatiche, la quale è verticale e diretta verso l’alto, detta forza di alleggerimento F_a, ed è pari al peso specifico dell’acqua γ_w per il volume del concio, e per il peso totale W del concio faremo riferimento al peso saturo per unità di volume γ_sat.

Ma il calcolo può essere semplificato considerando il peso alleggerito W’ del concio, al posto delle due forze opposte Fa e W.

Consideriamo come nel caso precedente, prima il caso di terreno non coesivo c’=0, poi il caso di terreno coesivo c’≠0.

F_a = γ_w⋅z⋅1
W = γ_sat⋅z⋅1
W’ = γ’⋅z⋅1
W’ = W- F_a

Nel caso di terreno sommerso, al contrario del caso precedente si ha:

c’ = 0; ϕ ≠ ϕ’; u ≠ 0; σtot ≠ σ’; N ≠ N’

N′= W′∙cos 𝛽=𝛾′∙z∙cos𝛽

T= W′∙sin𝛽=𝛾′∙z∙sin𝛽

T= N′∙tan𝜑′=𝛾′∙z∙cos𝛽∙𝑡an𝜑′

Anche in questo caso l’espressione del coefficiente di sicurezza, nel caso di terreno non coesivi si riduce a:

Ovvero il fattore di sicurezza assume lo stesso risultato già visto per il pendio in assenza di falda, il risultato cambia invece se il pendio è composto da materiale coesivo, o se è interessato da moti di filtrazione.

Estendendo il caso ad un terreno coerente, quindi c’≠0 si ha:

Per cui l’espressione del coefficiente di sicurezza si scrive come:

Filtrazione parallela al pendio

Lo schema di pendio indefinito con filtrazione parallela al pendio è utilizzato in genere per verificare la stabilità di una coltre di terreno in seguito a piogge prolungate, questo perché l’acqua nei terreni non è presente solo in condizioni statiche, infatti questi sono spesso sede di moti di filtrazione, e l’acqua in movimento altera lo stato tensionale del terreno influenzandone così il suo comportamento meccanico.

Date le basse velocità di filtrazione dell’acqua si assume che il moto sia laminare e stazionario. Consideriamo a tal proposito il caso in cui il pendio indefinito sia sede di un moto di filtrazione stazionario parallelo al pendio.

In questo caso si considera di avere un piezometro che pesca nel punto B, a profondità z dal piano campagna, in cui l’altezza d’acqua è h_p, calcolata considerando la isopiezica passante per B, prolungata fino al piano campagna che in questo caso coincide con la linea di saturazione, in A, da cui si traccia l’orizzontale.

Tramite semplici considerazioni di natura geometrica si arriva a calcolare l’altezza hp:

AB = z⋅cos β

h_p = AB⋅cos β

da cui:

h_p = z⋅cos² β

per cui la pressione dell’acqua nel punto B sarà:

u_B = γ_w⋅h_p = γ_w⋅z⋅cos²β

Quindi nel caso di filtrazione parallela al pendi, nell’equilibrio si ha una forza in più da tenere in considerazione, ovvero la risultante della pressione agente sulla base, U, lo schema da considerare sarà dunque:

W = γ_sat⋅z⋅1

N = W⋅cosβ = γ_sat⋅z⋅cosβ

T = W⋅sinβ = γ_sat⋅z⋅sinβ

U = u⋅A_base

Dove

u = γ_w ⋅z⋅cos²β

A_base=Δl⋅1 = 1/cosβ

U = u ⋅ A_base = γ_w ⋅ z ⋅ cosβ

Nel caso di terreno privo di coesione c’=0:

Essendo γsat > γ’ da questa relazione si nota che il fattore di sicurezza si riduce proprio del rapporto γ’/ γsat, ossia si riduce di quasi la metà, per cui la massima inclinazione del pendio diventa φ’/2, (questo sempre nel caso c’=0)

Nel caso invece di terreni dotati di coesione c’≠0 si ha:

Caso generale

Consideriamo un pendio indefinito in cui sia presente un moto di filtrazione, e che esso sia costituito da un terreno coesivo

Indichiamo con z lo spessore del pendio, ovvero la profondità della superficie di scorrimento, mentre m·z=h_w è un’aliquota di z e individua l’altezza della falda dal fondo.
Alla base del pendio vige una pressione u=γ_w·m·z·cos²β, su un concio di terreno di peso W agiranno alla sua base le tensioni σ,τ, u.
Dall’analisi in termini di tensioni possiamo scrivere:

Da queste espressioni è possibile ottenere un’espressione generale per FS

Dove per:

• c’=0; m=0 → terreno incoerente asciutto
• c’=0; m=1 → terreno incoerente, con moto di filtrazione e superficie della falda coincidente al piano campagna
• c’=0; m≠0 → terreno incoerente, moto di filtrazione con altezza della falda non coincidente al piano campagna

Moto filtrazione verticale

(il carico H è costante lungo le isopieziche, le pressioni sono nulle il gradiente idraulico i= ΔH/ ΔL=1)

Moto di filtrazione orizzontale

(il carico H è costante lungo le isopieziche e le pressioni hanno una distribuzione di tipo idrostatico)

Moto di filtrazione parallelo al pendio

𝑊1=(𝑧−𝑧_w )∙ 𝛾
𝑊2=𝑧_w ∙ 𝛾_sat

𝑁=(𝑊1+𝑊2)∙cos𝛽

𝑇=(𝑊1+𝑊2)∙sin𝛽

IMPORTANTE

1. All’aumentare della coesione c’ la superficie di scorrimento tende ad abbassarsi, ad una coesione più bassa corrisponde una superficie di scorrimento più vicina al piano campagna;
2. Nei casi di terreno asciutto in cui si ha che φ’> β, il pendio risulterà sempre stabile, nel caso in cui si abbia φ’< β, per terreni dotati di coesione, l’equilibrio può sussistere solo ad una certa profondità, detta profondità critica, che si può calcolare ponendo FS=1
   
3. La condizione più sfavorevole in un pendio sede di un moto di filtrazione, è quando questa avviene in direzione orizzontale, subito dopo questa vi è la condizione di moto di filtrazione parallelo al pendio, in cui l’ipotesi peggiore è quando la linea di saturazione coincide con il piano campagna, mentre la situazione più favorevole è rappresentata da un moto di filtrazione verticale rivolto verso il basso;
4. Nel caso in cui si abbia a che fare con un pendio che è stato interessato già da fenomeni franosi in passato, la resistenza alla quale si deve far riferimento è la resistenza residua, ovvero la resistenza disponibile su una preesistente superficie di rottura, la resistenza residua è caratterizzata da una coesione nulla c’r=0, e da un angolo di attrito minore dell’angolo di attrito di picco φ’r < φ’p.
5. Se l’inclinazione del flusso risulta essere diversa da quella dell’inclinazione del pendio la pressione u ad una certa profondità z vale:
   
   Dove:
   • β è l’inclinazione del pendio
   • α è l’inclinazione del flusso
   • Quando si fa riferimento a qualche evento avvenuto rapidamente, come ad esempio un carico applicato rapidamente, oppure quando viene precisato che la rottura avviene senza variazioni di volume, l’analisi deve essere fatta in condizioni non drenate, utilizzando la coesione non drenata Cu con il criterio di Tresca.
6. Nel caso di pendio multistrato verranno calcolati separatamente i pesi gravanti di ogni singolo strato. In presenza di falda viene effettuato un controllo in base all’altezza di quest’ultima (H_w) e calcolato il relativo peso di terreno saturo in funzione in quale strato ricada il pelo libero della falda

Schemi utilizzati nella Geoapp